What a control chart tells you
A control chart plots a process statistic in time order against a center line and two control limits placed three standard deviations either side of it. Points that stay inside the limits with no pattern show only common-cause variation — the natural noise of a stable process. A point outside the limits, or a non-random pattern, signals a special cause: something changed and is worth investigating.
Control limits are calculated from the data. They are not specification limits and say nothing about whether the product meets its tolerance — the capability section does that, and only after the chart shows a stable process.
Choosing a chart
The link Not sure? Answer 3 questions under the chart buttons leads you to the right chart. The full list:
| Chart | Data | Use it when |
|---|
| X̄–R | Measurements in subgroups | 2 to 10 parts are measured together at each sampling time. The classic shop-floor chart. |
| X̄–S | Measurements in subgroups | Subgroups are larger than 10, or their size varies. The standard deviation uses every value, the range only two. |
| I–MR | Single measurements | Only one value exists per time point: batch results, daily readings, destructive or slow tests. |
| p | Defective items / sample size | Each item is classed good or defective and you track the fraction defective. Sample size may vary. |
| np | Defective items | Same as p but plotted as a count. Use with a constant sample size. |
| c | Defects per sample | You count defects (an item can have several) on samples of constant size or area. |
| u | Defects / units inspected | You count defects and the number of units, length or area inspected varies. |
| EWMA | Single values or subgroups | You must detect a small, sustained shift of the mean (0.5 to 1.5σ) quickly. |
| CUSUM | Single values or subgroups | Same purpose as EWMA; it also shows when the shift began. |
Defective or defect? A defective (nonconforming) item fails as a whole — use p or np. A defect (nonconformity) is a single flaw, and one item may carry many — use c or u.
Entering data
- Cells works like a small spreadsheet: type values, move with the arrow keys, Enter or Tab, and paste a block copied from Excel or Google Sheets into any cell. A header row in the pasted block is dropped and a text column goes to Label. Cells that cannot be read as numbers turn red, and the row number of a flagged point is marked red.
- Text is a plain box for long lists or CSV. Tabs, semicolons, commas and spaces are all understood as separators. A header row is skipped and a first column of text is used as labels; if your labels are numbers, tick First column holds labels.
- Open file… reads CSV, TXT and Excel workbooks (.xlsx, first sheet). Date cells become labels.
- Keep the rows in time order. Sorting the data destroys the information a control chart reads.
- X̄–R and X̄–S: one subgroup per row. If you have a single column, set the subgroup size and the values are grouped in order.
- I–MR and c: one value per row. EWMA and CUSUM: one value per row, or one subgroup per row.
- p, np and u: the count first, then the sample size (or units inspected). With a constant sample size, enter the counts alone and type the size.
- Decimal comma: “10,5” is read as 10.5 when the data comes from a spreadsheet using comma decimals. If the automatic choice is wrong, set the decimal mark yourself — the data table always shows exactly what was read.
How the limits are calculated
All limits are the center line ± 3 standard deviations of the plotted statistic. k is the number of subgroups, n the subgroup size.
X̄–R (equal subgroup size)
X̿ = ΣX̄ / k R̄ = ΣR / k σ̂ = R̄ / d₂
X̄ chart: X̿ ± A₂·R̄ R chart: UCL = D₄·R̄, CL = R̄, LCL = D₃·R̄
X̄–S (equal subgroup size)
S̄ = ΣS / k σ̂ = S̄ / c₄
X̄ chart: X̿ ± A₃·S̄ S chart: UCL = B₄·S̄, CL = S̄, LCL = B₃·S̄
I–MR (moving range of 2 consecutive values)
MRᵢ = |xᵢ − xᵢ₋₁| σ̂ = M̄R̄ / d₂ = M̄R̄ / 1.128
I chart: X̄ ± 3·M̄R̄/d₂ = X̄ ± 2.660·M̄R̄ MR chart: UCL = D₄·M̄R̄ = 3.267·M̄R̄, CL = M̄R̄, LCL = 0
Attributes charts
p: p̄ = Σd / Σn p̄ ± 3·√( p̄(1 − p̄) / nᵢ )
np: n·p̄ ± 3·√( n·p̄(1 − p̄) )
c: c̄ = Σc / k c̄ ± 3·√c̄
u: ū = Σc / Σn ū ± 3·√( ū / nᵢ )
A lower limit that would fall below zero is set to 0, and an upper limit for p cannot exceed 1. When the sample size varies, the p and u limits are calculated for every sample and drawn as steps.
Sigma estimate and unequal subgroups
The option Sigma estimate chooses how σ̂ is obtained from the subgroups. With equal subgroup sizes the first two choices give the same result.
Standard, unequal sizes (R): σ̂ = Σ fᵢ·Rᵢ/d₂(nᵢ) / Σ fᵢ, fᵢ = d₂(nᵢ)² / d₃(nᵢ)²
Standard, unequal sizes (S): σ̂ = Σ hᵢ·Sᵢ/c₄(nᵢ) / Σ hᵢ, hᵢ = c₄(nᵢ)² / (1 − c₄(nᵢ)²)
Average of the subgroup estimates: σ̂ = Σ (Rᵢ/d₂(nᵢ)) / k or Σ (Sᵢ/c₄(nᵢ)) / k
Pooled: σ̂ = Sp / c₄(d + 1), Sp = √( Σ(nᵢ − 1)Sᵢ² / d ), d = Σ(nᵢ − 1)
The standard choice weights the subgroups for minimum variance (the method Minitab documents); the plain average is the default of the R package qcc. Each subgroup then gets its own limits:
X̄ chart: X̿ ± 3·σ̂/√nᵢ R chart: (d₂(nᵢ) ± 3·d₃(nᵢ))·σ̂ S chart: (c₄(nᵢ) ± 3·√(1 − c₄(nᵢ)²))·σ̂
X̿ is always the mean of all individual measurements.
Control chart constants
Standard table (the default) uses d₂ to three decimals and d₃ to four, exactly as printed in the standard tables (ASTM MNL 7, AIAG, Montgomery). Minitab and the R package qcc divide by the same d₂ values, so results can be compared with them digit for digit. c₄ is always computed from its formula, c₄ = √(2/(n−1))·Γ(n/2)/Γ((n−1)/2). The other factors (A₂, D₃, D₄, A₃, B₃, B₄, E₂) are derived from these at full precision instead of being read from a rounded table, so a hand calculation with a rounded A₂ or D₄ can differ in the last displayed digit. The tables stop at n = 25; larger subgroups use the exact values.
Exact values replaces the table values with d₂ and d₃ computed to full precision from the distribution of the range of a normal sample (for n = 2, d₂ = 2/√π = 1.12838 instead of 1.128). The difference shows in about the fourth significant digit of σ̂, mostly on the I–MR chart. The table below shows the constants for the option currently selected.
A₂ = 3/(d₂√n) D₃ = max(0, 1 − 3d₃/d₂) D₄ = 1 + 3d₃/d₂
A₃ = 3/(c₄√n) B₃ = max(0, 1 − 3√(1−c₄²)/c₄) B₄ = 1 + 3√(1−c₄²)/c₄
Tests for special causes
Each test looks for a pattern that would be very unlikely in a stable process. A flagged point is drawn in red with the number of the test it failed.
| Test | Pattern (standard run lengths) | Typical meaning |
|---|
| 1 | 1 point more than 3σ from the center line | A sudden, large change — the basic out-of-control signal. |
| 2 | 9 points in a row on the same side of the center line | A sustained shift in the process level. |
| 3 | 6 points in a row, all increasing or all decreasing | A trend or drift: tool wear, temperature, depletion. |
| 4 | 14 points in a row, alternating up and down | Two alternating sources: shifts, machines, over-adjustment. |
| 5 | 2 out of 3 points more than 2σ from the center line, same side | A moderate shift, caught earlier than test 1. |
| 6 | 4 out of 5 points more than 1σ from the center line, same side | A small sustained shift. |
| 7 | 15 points in a row within 1σ of the center line | Too little variation: mixed streams inside subgroups, or limits that are out of date. |
| 8 | 8 points in a row more than 1σ from the center line, either side | A mixture: two processes plotted on one chart. |
- Tests 1–4 apply to every chart. Tests 5–8 rely on the ±1σ and ±2σ zones and are applied to the X̄ and Individuals charts only. EWMA and CUSUM charts use their own limits and none of these tests.
- The pattern is flagged on the point that completes it, and on every later point for which it still holds.
- A point exactly on a limit is not beyond it. A point exactly on the center line ends a same-side run.
- Test 1 only gives roughly one false alarm in 370 points for normally distributed data. Every extra test finds small shifts sooner but raises the false-alarm rate, so switch on only the tests you will act on.
- Western Electric switches on tests 1, 2, 5 and 6 with 8 points in a row for test 2, as in the original rules. All 8 (Nelson) uses the run lengths in the table.
- Change the run lengths lets you set each number within the range Minitab allows (for example 7 or 8 instead of 9 for test 2). The wording of the tests on screen and in the report follows your choice.
- Extra lines draws ±2σ warning limits, or the ±1σ and ±2σ zones, on the chart. They are a visual aid and do not change the tests.
Stages
When the process was changed on purpose — a new tool, material or setting — one set of limits for the whole chart would be wrong. A stage starts new limits: type the point numbers in Stages — new limits from point, or click the first point after the change and choose Start a new stage here.
- Every stage has its own center line, sigma and limits, calculated from its own points only.
- The tests start again at each stage, and no moving range is taken across a stage boundary.
- Each stage needs at least 2 included points; 20 or more are recommended.
- The calculation card lists every stage. The distribution, capability and explanation sections describe the latest stage.
EWMA and CUSUM
Shewhart charts react to each point on its own and are slow to notice a small shift that persists. Time-weighted charts add up the evidence over several points.
EWMA: zᵢ = λ·xᵢ + (1 − λ)·zᵢ₋₁, z₀ = μ₀ limits: μ₀ ± L·(σ/√n)·√( λ/(2 − λ)·(1 − (1 − λ)^2i) )
CUSUM: C⁺ᵢ = max(0, xᵢ − (μ₀ + K) + C⁺ᵢ₋₁) C⁻ᵢ = max(0, (μ₀ − K) − xᵢ + C⁻ᵢ₋₁)
K = k·σ/√n signal when C⁺ or C⁻ exceeds H = h·σ/√n
- xᵢ is a single value, or the mean of a subgroup. μ₀ is the mean of the data unless you enter a target; σ comes from the moving ranges or subgroup ranges unless you enter it.
- EWMA: λ = 0.2 with L = 3 is the usual start (about one false alarm in 560 points). Smaller λ detects smaller shifts; λ = 1 is an ordinary Shewhart chart. With unequal subgroup sizes the variance is accumulated point by point.
- CUSUM: k = 0.5 is best for a shift of one standard error. h = 5 gives about one false alarm in 465 points, h = 4 about one in 168. The tooltip shows N⁺ and N⁻, the number of points since each sum last left zero: that is where the shift began.
- These charts do not replace the R, S or MR chart for the spread, and they react slowly to a single large jump — keep the Shewhart chart as well.
Very large samples: Laney p′ and u′
The p and u charts assume that the only variation between samples is binomial or Poisson sampling noise. With samples of thousands of items that noise becomes tiny, the limits become very tight, and ordinary day-to-day variation shows up as false signals (overdispersion). Laney's correction measures the real short-term variation of the standardized values:
zᵢ = (pᵢ − p̄) / √( p̄(1 − p̄)/nᵢ ) σz = M̄R̄(z) / d₂ limits: p̄ ± 3·√( p̄(1 − p̄)/nᵢ )·σz
The same is done for u with √(ū/nᵢ). σz is always shown in the calculation card: near 1 the ordinary chart is fine, well above 1 the Laney chart is the right one.
Distribution, normality and capability
For measured data the page shows a histogram of the individual values used for the limits, with the fitted normal curve.
- Anderson–Darling test. A p-value below 0.05 means the data departs from a normal distribution. This matters most for the Individuals chart, whose limits assume normal data; means of subgroups are much less sensitive. The test needs at least 8 values and uses the p-value formulas of D'Agostino and Stephens (1986).
- Capability. Enter LSL, USL or both.
Cp = (USL − LSL) / 6σ̂ Cpk = min( (USL − X̄)/3σ̂, (X̄ − LSL)/3σ̂ ) σ̂ = within-subgroup sigma from the chart
Pp, Ppk: the same with s, the standard deviation of all values
Cp and Cpk describe what the process can do in the short term; Pp and Ppk what it actually delivered. They are only meaningful when the chart shows no signals. The link to Cp/Cpk Studio opens the same values there for confidence intervals and a full capability report.
Reading the result
- The What the values mean section explains every number for the data on screen.
- Start with the lower chart (R, S or MR). The limits of the upper chart are built from the spread, so if the spread is out of control those limits cannot be trusted yet.
- For each flagged point, look for what changed at that time: material, operator, setting, tool, gauge, environment.
- Click a point to open its menu: exclude it from the limit calculation, start a new stage, write a note with the cause, or jump to its row in the data cells. An excluded point stays visible but no longer enters the limits, and the tests are rerun on the remaining points. Do not exclude a point merely because it is inconvenient.
- For a long series, drag across the chart to zoom in, or use the Show buttons; double-click to see everything again. The limits always use all the data, whatever part is shown.
- When no signals remain, the limits describe the stable process and can be used to monitor new data.
Use at least 20–25 subgroups (or about 100 individual values) to set limits. With fewer points the limits are only preliminary and will move as data is added.
The p, np, c and u limits use the normal approximation, which is rough when the average count per sample is below about 5.
Saving, sharing and reports
- Your work is kept in this browser automatically. Data sets saves any number of charts under a name, with their data, options, stages, exclusions and notes, and can export them all to a file.
- Share copies a link that contains the data and settings of the current chart. Nothing is uploaded: the data travels inside the link itself.
- PDF report produces a document with the report details you enter, the verdict, the charts, signals and notes, the calculation, the distribution and capability results, the data table and a signature block. PNG saves the chart image, and Download CSV the table with every limit.
References
- D. C. Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control.
- AIAG, Statistical Process Control (SPC) Reference Manual.
- ASTM, Manual on Presentation of Data and Control Chart Analysis (MNL 7).
- ISO 7870-2, Control charts — Shewhart control charts.
- L. S. Nelson, “The Shewhart Control Chart — Tests for Special Causes”, Journal of Quality Technology 16 (1984).
- D. B. Laney, “Improved Control Charts for Attributes”, Quality Engineering 14 (2002).
- R. B. D'Agostino and M. A. Stephens, Goodness-of-Fit Techniques (1986).
Biểu đồ kiểm soát cho biết điều gì
Biểu đồ kiểm soát vẽ một đại lượng thống kê của quá trình theo thứ tự thời gian, cùng một đường trung tâm và hai giới hạn kiểm soát đặt cách đường trung tâm ba độ lệch chuẩn. Các điểm nằm trong giới hạn và không tạo thành quy luật cho thấy chỉ có biến thiên do nguyên nhân thông thường — nhiễu tự nhiên của một quá trình ổn định. Một điểm nằm ngoài giới hạn, hoặc một quy luật không ngẫu nhiên, báo hiệu nguyên nhân đặc biệt: có điều gì đó đã thay đổi và cần được tìm hiểu.
Giới hạn kiểm soát được tính từ dữ liệu. Chúng không phải là giới hạn kỹ thuật và không cho biết sản phẩm có đạt dung sai hay không — phần năng lực quá trình trả lời câu hỏi đó, và chỉ có ý nghĩa sau khi biểu đồ cho thấy quá trình ổn định.
Chọn biểu đồ
Liên kết Chưa chắc? Trả lời 3 câu hỏi dưới các nút biểu đồ sẽ dẫn bạn tới biểu đồ phù hợp. Danh sách đầy đủ:
| Biểu đồ | Dữ liệu | Dùng khi |
|---|
| X̄–R | Số đo theo nhóm | Mỗi lần lấy mẫu đo 2 đến 10 chi tiết. Biểu đồ kinh điển trên xưởng sản xuất. |
| X̄–S | Số đo theo nhóm | Nhóm lớn hơn 10, hoặc cỡ nhóm thay đổi. Độ lệch chuẩn dùng mọi giá trị, còn khoảng biến thiên chỉ dùng hai. |
| I–MR | Số đo đơn lẻ | Mỗi thời điểm chỉ có một giá trị: kết quả từng mẻ, số đọc hằng ngày, phép thử phá hủy hoặc tốn thời gian. |
| p | Sản phẩm lỗi / cỡ mẫu | Mỗi sản phẩm được xếp loại đạt hoặc lỗi và bạn theo dõi tỷ lệ lỗi. Cỡ mẫu có thể thay đổi. |
| np | Sản phẩm lỗi | Giống p nhưng vẽ dưới dạng số đếm. Dùng khi cỡ mẫu không đổi. |
| c | Số lỗi trên mỗi mẫu | Bạn đếm số lỗi (một sản phẩm có thể có nhiều lỗi) trên các mẫu có kích thước hoặc diện tích không đổi. |
| u | Số lỗi / số đơn vị kiểm tra | Bạn đếm số lỗi, và số đơn vị, chiều dài hoặc diện tích kiểm tra thay đổi. |
| EWMA | Giá trị đơn hoặc nhóm | Cần phát hiện nhanh một dịch chuyển nhỏ và kéo dài của trung bình (0.5 đến 1.5σ). |
| CUSUM | Giá trị đơn hoặc nhóm | Cùng mục đích với EWMA; ngoài ra còn cho biết dịch chuyển bắt đầu từ khi nào. |
Sản phẩm lỗi hay lỗi? Sản phẩm lỗi (không phù hợp) là sản phẩm bị loại xét về tổng thể — dùng p hoặc np. Lỗi (điểm không phù hợp, khuyết tật) là từng khuyết điểm riêng lẻ, và một sản phẩm có thể có nhiều lỗi — dùng c hoặc u.
Nhập dữ liệu
- Ô hoạt động như một bảng tính nhỏ: gõ giá trị, di chuyển bằng phím mũi tên, Enter hoặc Tab, và dán một khối sao chép từ Excel hay Google Sheets vào ô bất kỳ. Dòng tiêu đề trong khối dán được bỏ đi và cột chữ được đưa vào cột Nhãn. Ô không đọc được thành số sẽ tô đỏ, và số thứ tự dòng của điểm có tín hiệu được đánh dấu đỏ.
- Văn bản là một ô nhập thường, dùng cho danh sách dài hoặc CSV. Tab, dấu chấm phẩy, dấu phẩy và khoảng trắng đều được hiểu là dấu phân cách. Dòng tiêu đề được bỏ qua và cột chữ đầu tiên được dùng làm nhãn; nếu nhãn của bạn là số, hãy chọn Cột đầu tiên là nhãn.
- Mở file… đọc được CSV, TXT và file Excel (.xlsx, trang tính đầu tiên). Ô ngày tháng trở thành nhãn.
- Giữ các dòng theo thứ tự thời gian. Sắp xếp dữ liệu sẽ phá hủy chính thông tin mà biểu đồ kiểm soát cần đọc.
- X̄–R và X̄–S: mỗi dòng một nhóm. Nếu chỉ có một cột, hãy nhập cỡ nhóm, các giá trị sẽ được gom theo thứ tự.
- I–MR và c: mỗi dòng một giá trị. EWMA và CUSUM: mỗi dòng một giá trị, hoặc mỗi dòng một nhóm.
- p, np và u: số đếm trước, rồi đến cỡ mẫu (hoặc số đơn vị kiểm tra). Nếu cỡ mẫu không đổi, chỉ cần nhập số đếm rồi gõ cỡ mẫu.
- Dấu phẩy thập phân: “10,5” được đọc là 10.5 khi dữ liệu đến từ bảng tính dùng dấu phẩy thập phân. Nếu lựa chọn tự động không đúng, hãy tự chọn dấu thập phân — bảng dữ liệu luôn hiển thị đúng những gì đã được đọc.
Cách tính giới hạn
Mọi giới hạn đều bằng đường trung tâm ± 3 độ lệch chuẩn của đại lượng được vẽ. k là số nhóm, n là cỡ nhóm.
X̄–R (cỡ nhóm bằng nhau)
X̿ = ΣX̄ / k R̄ = ΣR / k σ̂ = R̄ / d₂
Biểu đồ X̄: X̿ ± A₂·R̄ Biểu đồ R: UCL = D₄·R̄, CL = R̄, LCL = D₃·R̄
X̄–S (cỡ nhóm bằng nhau)
S̄ = ΣS / k σ̂ = S̄ / c₄
Biểu đồ X̄: X̿ ± A₃·S̄ Biểu đồ S: UCL = B₄·S̄, CL = S̄, LCL = B₃·S̄
I–MR (khoảng dịch chuyển của 2 giá trị liên tiếp)
MRᵢ = |xᵢ − xᵢ₋₁| σ̂ = M̄R̄ / d₂ = M̄R̄ / 1.128
Biểu đồ I: X̄ ± 3·M̄R̄/d₂ = X̄ ± 2.660·M̄R̄ Biểu đồ MR: UCL = D₄·M̄R̄ = 3.267·M̄R̄, CL = M̄R̄, LCL = 0
Biểu đồ thuộc tính
p: p̄ = Σd / Σn p̄ ± 3·√( p̄(1 − p̄) / nᵢ )
np: n·p̄ ± 3·√( n·p̄(1 − p̄) )
c: c̄ = Σc / k c̄ ± 3·√c̄
u: ū = Σc / Σn ū ± 3·√( ū / nᵢ )
Giới hạn dưới nếu nhỏ hơn 0 thì được đặt bằng 0, và giới hạn trên của p không thể vượt quá 1. Khi cỡ mẫu thay đổi, giới hạn của p và u được tính cho từng mẫu và vẽ dạng bậc thang.
Ước lượng sigma và nhóm không đều
Tùy chọn Cách ước lượng sigma quyết định cách tính σ̂ từ các nhóm. Khi cỡ nhóm bằng nhau, hai lựa chọn đầu cho cùng kết quả.
Chuẩn, cỡ nhóm không đều (R): σ̂ = Σ fᵢ·Rᵢ/d₂(nᵢ) / Σ fᵢ, fᵢ = d₂(nᵢ)² / d₃(nᵢ)²
Chuẩn, cỡ nhóm không đều (S): σ̂ = Σ hᵢ·Sᵢ/c₄(nᵢ) / Σ hᵢ, hᵢ = c₄(nᵢ)² / (1 − c₄(nᵢ)²)
Trung bình ước lượng của các nhóm: σ̂ = Σ (Rᵢ/d₂(nᵢ)) / k hoặc Σ (Sᵢ/c₄(nᵢ)) / k
Gộp: σ̂ = Sp / c₄(d + 1), Sp = √( Σ(nᵢ − 1)Sᵢ² / d ), d = Σ(nᵢ − 1)
Cách chuẩn gán trọng số cho các nhóm để phương sai nhỏ nhất (phương pháp được mô tả trong tài liệu Minitab); trung bình đơn giản là mặc định của gói R qcc. Khi đó mỗi nhóm có giới hạn riêng:
Biểu đồ X̄: X̿ ± 3·σ̂/√nᵢ Biểu đồ R: (d₂(nᵢ) ± 3·d₃(nᵢ))·σ̂ Biểu đồ S: (c₄(nᵢ) ± 3·√(1 − c₄(nᵢ)²))·σ̂
X̿ luôn là trung bình của tất cả các số đo đơn lẻ.
Hằng số biểu đồ kiểm soát
Bảng chuẩn (mặc định) dùng d₂ với ba chữ số thập phân và d₃ với bốn chữ số, đúng như in trong các bảng chuẩn (ASTM MNL 7, AIAG, Montgomery). Minitab và gói R qcc chia cho cùng các giá trị d₂ này, nên có thể đối chiếu kết quả từng chữ số. c₄ luôn được tính từ công thức c₄ = √(2/(n−1))·Γ(n/2)/Γ((n−1)/2). Các hệ số còn lại (A₂, D₃, D₄, A₃, B₃, B₄, E₂) được suy ra từ đó với độ chính xác đầy đủ thay vì đọc từ bảng đã làm tròn, nên phép tính tay với A₂ hay D₄ làm tròn có thể lệch ở chữ số hiển thị cuối cùng. Bảng dừng ở n = 25; nhóm lớn hơn dùng giá trị chính xác.
Giá trị chính xác thay các giá trị bảng bằng d₂ và d₃ tính với độ chính xác đầy đủ từ phân phối khoảng biến thiên của mẫu chuẩn (với n = 2, d₂ = 2/√π = 1.12838 thay cho 1.128). Khác biệt xuất hiện ở khoảng chữ số có nghĩa thứ tư của σ̂, chủ yếu trên biểu đồ I–MR. Bảng dưới đây hiển thị hằng số theo tùy chọn đang chọn.
A₂ = 3/(d₂√n) D₃ = max(0, 1 − 3d₃/d₂) D₄ = 1 + 3d₃/d₂
A₃ = 3/(c₄√n) B₃ = max(0, 1 − 3√(1−c₄²)/c₄) B₄ = 1 + 3√(1−c₄²)/c₄
Phép thử nguyên nhân đặc biệt
Mỗi phép thử tìm một quy luật rất khó xảy ra ở một quá trình ổn định. Điểm có tín hiệu được vẽ màu đỏ kèm số của phép thử không đạt.
| Phép thử | Quy luật (số điểm chuẩn) | Ý nghĩa thường gặp |
|---|
| 1 | 1 điểm cách đường trung tâm hơn 3σ | Thay đổi lớn, đột ngột — tín hiệu ngoài kiểm soát cơ bản. |
| 2 | 9 điểm liên tiếp nằm cùng một phía của đường trung tâm | Mức của quá trình dịch chuyển kéo dài. |
| 3 | 6 điểm liên tiếp cùng tăng hoặc cùng giảm | Xu hướng hoặc trôi: mòn dao, nhiệt độ, hao hụt. |
| 4 | 14 điểm liên tiếp lên xuống xen kẽ | Hai nguồn luân phiên: ca, máy, hoặc điều chỉnh quá mức. |
| 5 | 2 trong 3 điểm cách đường trung tâm hơn 2σ, cùng phía | Dịch chuyển vừa, phát hiện sớm hơn phép thử 1. |
| 6 | 4 trong 5 điểm cách đường trung tâm hơn 1σ, cùng phía | Dịch chuyển nhỏ kéo dài. |
| 7 | 15 điểm liên tiếp nằm trong khoảng 1σ quanh đường trung tâm | Biến thiên quá ít: trộn nhiều dòng sản phẩm trong nhóm, hoặc giới hạn đã lỗi thời. |
| 8 | 8 điểm liên tiếp cách đường trung tâm hơn 1σ, phía nào cũng tính | Hỗn hợp: hai quá trình vẽ chung trên một biểu đồ. |
- Phép thử 1–4 áp dụng cho mọi biểu đồ. Phép thử 5–8 dựa trên các vùng ±1σ và ±2σ nên chỉ áp dụng cho biểu đồ X̄ và biểu đồ giá trị đơn. Biểu đồ EWMA và CUSUM dùng giới hạn riêng và không dùng các phép thử này.
- Quy luật được đánh dấu tại điểm hoàn thành nó, và tại mọi điểm sau đó mà quy luật vẫn còn đúng.
- Điểm nằm đúng trên giới hạn không được coi là vượt giới hạn. Điểm nằm đúng trên đường trung tâm làm kết thúc chuỗi cùng phía.
- Chỉ phép thử 1 cho khoảng một báo động giả trong 370 điểm với dữ liệu phân phối chuẩn. Mỗi phép thử thêm vào giúp phát hiện dịch chuyển nhỏ sớm hơn nhưng làm tăng tỷ lệ báo động giả, nên chỉ bật những phép thử mà bạn sẽ thực sự xử lý.
- Western Electric bật các phép thử 1, 2, 5 và 6 với 8 điểm liên tiếp cho phép thử 2, như bộ quy tắc gốc. Cả 8 (Nelson) dùng số điểm như trong bảng.
- Đổi số điểm của các phép thử cho phép đặt từng con số trong phạm vi Minitab cho phép (ví dụ 7 hoặc 8 thay cho 9 ở phép thử 2). Câu chữ của phép thử trên màn hình và trong báo cáo thay đổi theo lựa chọn của bạn.
- Đường bổ sung vẽ giới hạn cảnh báo ±2σ, hoặc các vùng ±1σ và ±2σ, lên biểu đồ. Chúng chỉ hỗ trợ quan sát và không làm thay đổi các phép thử.
Giai đoạn
Khi quá trình được thay đổi có chủ ý — dao mới, nguyên liệu mới hoặc thông số mới — dùng một bộ giới hạn cho cả biểu đồ sẽ sai. Một giai đoạn bắt đầu bộ giới hạn mới: gõ số thứ tự điểm vào Giai đoạn — giới hạn mới từ điểm, hoặc bấm vào điểm đầu tiên sau thay đổi và chọn Bắt đầu giai đoạn mới tại đây.
- Mỗi giai đoạn có đường trung tâm, sigma và giới hạn riêng, chỉ tính từ các điểm của giai đoạn đó.
- Các phép thử bắt đầu lại ở mỗi giai đoạn, và không tính khoảng dịch chuyển vắt qua ranh giới giai đoạn.
- Mỗi giai đoạn cần ít nhất 2 điểm được tính; nên có từ 20 điểm trở lên.
- Thẻ tính toán liệt kê mọi giai đoạn. Phần phân phối, năng lực và phần giải thích mô tả giai đoạn mới nhất.
EWMA và CUSUM
Biểu đồ Shewhart xét từng điểm riêng lẻ nên chậm nhận ra một dịch chuyển nhỏ nhưng kéo dài. Biểu đồ có trọng số theo thời gian cộng dồn bằng chứng qua nhiều điểm.
EWMA: zᵢ = λ·xᵢ + (1 − λ)·zᵢ₋₁, z₀ = μ₀ giới hạn: μ₀ ± L·(σ/√n)·√( λ/(2 − λ)·(1 − (1 − λ)^2i) )
CUSUM: C⁺ᵢ = max(0, xᵢ − (μ₀ + K) + C⁺ᵢ₋₁) C⁻ᵢ = max(0, (μ₀ − K) − xᵢ + C⁻ᵢ₋₁)
K = k·σ/√n có tín hiệu khi C⁺ hoặc C⁻ vượt H = h·σ/√n
- xᵢ là một giá trị đơn, hoặc trung bình của một nhóm. μ₀ là trung bình của dữ liệu trừ khi bạn nhập giá trị mục tiêu; σ lấy từ khoảng dịch chuyển hoặc khoảng biến thiên của nhóm trừ khi bạn nhập.
- EWMA: λ = 0.2 với L = 3 là điểm khởi đầu thông dụng (khoảng một báo động giả trong 560 điểm). λ nhỏ hơn phát hiện dịch chuyển nhỏ hơn; λ = 1 là biểu đồ Shewhart thông thường. Khi cỡ nhóm không đều, phương sai được cộng dồn theo từng điểm.
- CUSUM: k = 0.5 là tốt nhất cho dịch chuyển một sai số chuẩn. h = 5 cho khoảng một báo động giả trong 465 điểm, h = 4 khoảng một trong 168 điểm. Khung chú thích hiển thị N⁺ và N⁻, số điểm kể từ lần cuối mỗi tổng rời khỏi 0: đó là lúc dịch chuyển bắt đầu.
- Các biểu đồ này không thay thế biểu đồ R, S hay MR để theo dõi độ phân tán, và phản ứng chậm với một bước nhảy lớn đơn lẻ — hãy giữ cả biểu đồ Shewhart.
Mẫu rất lớn: Laney p′ và u′
Biểu đồ p và u giả định rằng biến thiên giữa các mẫu chỉ là nhiễu lấy mẫu nhị thức hoặc Poisson. Với mẫu hàng nghìn sản phẩm, nhiễu đó trở nên rất nhỏ, giới hạn rất hẹp, và biến thiên thường ngày giữa các mẫu hiện ra thành tín hiệu giả (phân tán quá mức). Hiệu chỉnh Laney đo biến thiên ngắn hạn thực tế của các giá trị đã chuẩn hóa:
zᵢ = (pᵢ − p̄) / √( p̄(1 − p̄)/nᵢ ) σz = M̄R̄(z) / d₂ giới hạn: p̄ ± 3·√( p̄(1 − p̄)/nᵢ )·σz
Với u cũng làm tương tự với √(ū/nᵢ). σz luôn được hiển thị trong thẻ tính toán: gần 1 thì biểu đồ thông thường là đủ, lớn hơn 1 nhiều thì biểu đồ Laney mới đúng.
Phân phối, tính chuẩn và năng lực
Với dữ liệu đo, trang hiển thị biểu đồ tần suất của các giá trị đơn lẻ dùng để tính giới hạn, kèm đường cong chuẩn khớp với dữ liệu.
- Phép thử Anderson–Darling. Giá trị p dưới 0.05 nghĩa là dữ liệu lệch khỏi phân phối chuẩn. Điều này quan trọng nhất với biểu đồ giá trị đơn, vì giới hạn của nó giả định dữ liệu chuẩn; trung bình của nhóm ít nhạy hơn nhiều. Phép thử cần ít nhất 8 giá trị và dùng công thức giá trị p của D'Agostino và Stephens (1986).
- Năng lực. Nhập LSL, USL hoặc cả hai.
Cp = (USL − LSL) / 6σ̂ Cpk = min( (USL − X̄)/3σ̂, (X̄ − LSL)/3σ̂ ) σ̂ = sigma trong nhóm lấy từ biểu đồ
Pp, Ppk: tương tự nhưng dùng s, độ lệch chuẩn của tất cả các giá trị
Cp và Cpk mô tả khả năng ngắn hạn của quá trình; Pp và Ppk mô tả những gì quá trình thực sự tạo ra. Chúng chỉ có ý nghĩa khi biểu đồ không có tín hiệu. Liên kết sang Cp/Cpk Studio mở đúng các giá trị này ở đó để xem khoảng tin cậy và báo cáo năng lực đầy đủ.
Đọc kết quả
- Phần Ý nghĩa các giá trị giải thích từng con số theo dữ liệu đang hiển thị.
- Bắt đầu với biểu đồ dưới (R, S hoặc MR). Giới hạn của biểu đồ trên được xây dựng từ độ phân tán, nên nếu độ phân tán ngoài kiểm soát thì chưa thể tin các giới hạn đó.
- Với mỗi điểm có tín hiệu, hãy tìm xem lúc đó có gì thay đổi: nguyên liệu, người vận hành, thông số, dao cụ, dụng cụ đo, môi trường.
- Bấm vào một điểm để mở menu: loại điểm khỏi phép tính giới hạn, bắt đầu giai đoạn mới, ghi chú nguyên nhân, hoặc nhảy tới dòng tương ứng trong bảng ô. Điểm đã loại vẫn hiển thị nhưng không còn tham gia tính giới hạn, và các phép thử được chạy lại trên các điểm còn lại. Đừng loại một điểm chỉ vì nó gây bất tiện.
- Với chuỗi dài, kéo ngang trên biểu đồ để phóng to, hoặc dùng các nút Hiển thị; bấm đúp để xem lại toàn bộ. Giới hạn luôn được tính trên toàn bộ dữ liệu, bất kể đang hiển thị phần nào.
- Khi không còn tín hiệu, các giới hạn mô tả quá trình ổn định và có thể dùng để theo dõi dữ liệu mới.
Hãy dùng ít nhất 20–25 nhóm (hoặc khoảng 100 giá trị đơn lẻ) để thiết lập giới hạn. Với ít điểm hơn, giới hạn chỉ là sơ bộ và sẽ thay đổi khi có thêm dữ liệu.
Giới hạn của p, np, c và u dùng xấp xỉ chuẩn, kém chính xác khi số đếm trung bình mỗi mẫu nhỏ hơn khoảng 5.
Lưu, chia sẻ và báo cáo
- Công việc của bạn được tự động giữ lại trong trình duyệt này. Bộ dữ liệu lưu bao nhiêu biểu đồ tùy ý theo tên, kèm dữ liệu, tùy chọn, giai đoạn, điểm loại trừ và ghi chú, và có thể xuất tất cả ra một file.
- Chia sẻ sao chép một link chứa dữ liệu và thiết lập của biểu đồ hiện tại. Không có gì được tải lên máy chủ: dữ liệu nằm ngay trong link.
- Báo cáo PDF tạo tài liệu gồm thông tin báo cáo bạn nhập, kết luận, các biểu đồ, tín hiệu và ghi chú, phần tính toán, kết quả phân phối và năng lực, bảng dữ liệu và ô chữ ký. PNG lưu ảnh biểu đồ, còn Tải CSV lưu bảng kèm mọi giới hạn.
Tài liệu tham khảo
- D. C. Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control.
- AIAG, Statistical Process Control (SPC) Reference Manual.
- ASTM, Manual on Presentation of Data and Control Chart Analysis (MNL 7).
- ISO 7870-2, Control charts — Shewhart control charts.
- L. S. Nelson, “The Shewhart Control Chart — Tests for Special Causes”, Journal of Quality Technology 16 (1984).
- D. B. Laney, “Improved Control Charts for Attributes”, Quality Engineering 14 (2002).
- R. B. D'Agostino và M. A. Stephens, Goodness-of-Fit Techniques (1986).